Binomische Formeln

Binomische Formeln

a²+2ab+b² = (a+b)²

Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten:

(a+b)² = (a+b)(a+b)
= aa+ab+ba+bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a²+ab+ab+b²
= a²+2ab+b²

q.e.d.

a²-2ab+b² = (a-b)²

Beweis/Herleitung:Die zweite binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten:

(a-b)² = (a-b)(a-b)
= aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) | Vorzeichen bereinigen
= aa-ab-ba+bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a²-ab-ab+b²
= a²-2ab+b²

q.e.d.

a²-b² = (a-b)(a+b)

Beweis/Herleitung: Die dritte binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten:

(a-b)(a+b) = aa+ab+(-b)a+(-b)b | Vorzeichen bereinigen
= aa+ab-ba-bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a²+ab-ab-b²
= a²-b²

q.e.d.