PQ-Formel

PQ-Formel

Für eine quadratische Gleichung der Form

x²+px+q = 0

ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

x_1/2 = -(p/2)±sqrt((p/2)²-q)

In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel.

Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden:

x²+px+q = 0 | -q
<=> x²+px = -q | +p²/4 (quadratische Ergänzung)
<=> x²+px+p²/4 = p²/4-q
<=> x²+px+(p/2)² = (p/2)²-q | Anwendung der ersten binomische Formel
<=> (x+p/2)² = (p/2)²-q | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung
<=> x_1/2+p/2 = ±sqrt((p/2)²-q) | -p/2
<=> x_1/2 = -p/2±sqrt((p/2)²-q)

q.e.d.

Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden:

Da es zwei Lösungsfälle gibt (x₁ und x₁) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen.

1. Fall x = x₁

x²+px+q = 0 | Einsetzen einer Lösung x=x₁=-p/2+sqrt((p/2)²-q)
<=> (-p/2+sqrt((p/2)²-q))² + p(-p/2+sqrt((p/2)²-q)) + q = 0 | auflösen, erste Binomische Formeln berücksichtigen
<=> (-p/2)²-2(p/2)sqrt((p/2)²-q)+(sqrt((p/2)²-q))² + p(-p/2)+p*sqrt((p/2)²-q) + q = 0 | ausklammern, vereinfachen
<=> (-p/2)²-p*sqrt((p/2)²-q)+(p/2)²-q + (-p²/2)+p*sqrt((p/2)²-q) + q = 0 | anwenden des Kommutativgesetzes
<=> (p/2)²+(-p/2)²+(-p²/2) - q+q + p*sqrt((p/2)²-q)-p*sqrt((p/2)²-q) = 0 | vereinfachen
<=> p²/2²+(-p)²/2²-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> (p²/4+p²/4)-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> p²/2-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> 0 = 0

2. Fall x = x₂

x²+px+q = 0 | einsetzen der zweiten Lösung x=x₂=-p/2-sqrt((p/2)²-q)
<=> (-p/2-sqrt((p/2)²-q))² + p(-p/2-sqrt((p/2)²-q)) + q = 0 | auflösen, zweite Binomische Formeln berücksichtigen
<=> (-p/2)²+2(p/2)sqrt((p/2)²-q)+(sqrt((p/2)²-q))² + p(-p/2)-p*sqrt((p/2)²-q) + q = 0 | ausklammern, vereinfachen
<=> (-p/2)²+p*sqrt((p/2)²-q)+(p/2)²-q + (-p²/2)-p*sqrt((p/2)²-q) + q = 0 | anwenden des Kommutativgesetzes
<=> (p/2)²+(-p/2)²+(-p²/2) - q+q - p*sqrt((p/2)²-q)+p*sqrt((p/2)²-q) = 0 | vereinfachen
<=> p²/2²+(-p)²/2²-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> (p²/4+p²/4)-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> p²/2-p²/2 = 0 | weiter vereinfachen
<=> 0 = 0

q.e.d.