a-b-c-Formel

a-b-c-Formel

Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

x_1/2 = (-b±sqrt(b²-4ac))/(2a)

Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte...

Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden.

1. Fall a = 0

Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel.

ax²+bx+c = 0 | a = 0 einsetzen

<=> bx+c = 0 | -c

<=> bx = -c

Hier ist eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für b = 0 ergibt sich durch einsetzen mit bx = 0x = 0 = -c das Ergebnis c = 0. Damit ist die Lösung der Gleichung unabhängig von der Wahl des x, also für jedes beliebige x in Verbindung mit c = 0 gültig.

Die Fallunterscheidung ist von Bedeutung, da anderfalls im nun folgenden 2. Fall b nicht mit 1/b (denn 1/0 ist undefiniert) separiert werden kann.

Für den anderen Fall (c <> 0) kann die Gleichung ebenso gelöst werden und ergibt eine eindeutige Lösung.

bx = -c | *(1/b)

<=> x = -c/b

Die Ergebnisse aus dem 1. Fall sind nur der Vollständigkeit halber aufgeführt, denn für a = 0 ist der Ausgangszustand der Formel (quadratische Gleichung) nicht mehr gegeben.

2. Fall a <> 0

Auch hier sieht man nun, warum die Fallunterscheidung erforderlich ist, denn in den folgenden Umformungen setzen wir 1/a an, was nur dann zulässig ist, wenn a<>0 ist.

ax²+bx+c = 0 | a ausklamern

<=> a(x²+(b/a)x+c/a) = 0 | *(1/a) für a<>0

<=> x²+(b/a)x+c/a = 0

Mit p = b/a und q = c/a hat man die Ausgangsform der P-Q-Formel: x²+px+q = 0

Der Beweis der P-Q-Formel ist bereits erbracht, so dass hier eingesetzt werden kann.

x_1/2 = -p/2±sqrt((p/2)²-q) | p und q einsetzen

<=> x_1/2 = -(b/a)/2±sqrt(((b/a)/2)²-c/a) | Vereinfachen

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt(((b/(2a)²-c/a) | Erweitern

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt(((b/(2a)²-4ac/(4aa)) | Vereinfachen

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt((b²/(4a²)-4ac/(4a²)) | Anwendung des Distributivgesetzes

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt((b²-4ac)/(4a²)) | Anwendung der Wurzelregeln

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt(b²-4ac)/sqrt(4a²) | vereinfachen

<=> x_1/2 = -b/(2a)±sqrt(b²-4ac)/(2a) | weiter vereinfachen

<=> x_1/2 = (-b±sqrt(b²-4ac))/(2a)

q.e.d.